Rangkaian Listrik (Dasar)

v

i

RANGKAIAN SERI DAN PARALEL

2.2.1 RANGKAIAN SERI

             

Hubungan seri pada resistor terjadi bila antara resistor-resistor tersebut dilalui oleh arus yang sama :

                        I_R1 = I_R2 = I_Rn

Untuk mendapatkan tahanan pengganti dari resistor yang terhubung seri adalah dengan menjumlahkan resistor-resistor tersebut

                        Rs =

                        Rs = R₁ + R₂ + ... + R_N

2.2.2 RANGKAIAN PARALEL

Hubungan paralel pada resistor terjadi bila tegangan jatuh antara resistor-resistor tersebut sama :

                        V_R1 = V_R2 = V_Rn

Untuk mendapatkan tahanan pengganti dari resistor yang terhubung seri adalah dengan menjumlahkan konduktansi dari resistor-resistor tersebut

Tahananan total dua resistor paralel :

ContohSoal:

1.      Perhatikan gambar di bawah ini!

Berapakah besar arus (I) pada rangkaian di atas?

Penyelesaian:

Diketahui :   R₁ = 28 Ω

                     R₂ = 6 Ω

                                 R₃ = 3 Ω

                                 E   = 15 volt

            Ditanya :I . . . . ?

Rt=Rp+ R1 = 2 + 28 = 30 Ω

            Jawab :

a.                                                 b.

 

c.        

PEMBAGIARUS DAN TEGANGAN

2.3.1 PEMBAGI ARUS

    Apabila dua resistor terpasang paralel pada titik simpul yang sama maka, resistor paralel tersebut akan membagi arus sumber.

Arus yang mengalir pada resistor sebanding dengan besar tahanan lain dan berbanding terbalik dengan jumlah total resistor paralel tersebut.

2.3.1 PEMBAGI TEGANGAN

    Apabila dua resistor terpasang seri, maka resistor tersebut akan membagi tegangan sumber menjadi tegangan jatuh masing-masing resistor.

Tegangan jatuh pada resistor sebanding dengan besar resistor itu sendiri dan berbanding terbalik dengan jumlah total resistor seri tersebut.

CONTOH 1:                                                                                                                

Diketahui : R₀ = 6 W, daya yang diserap oleh R₀ = 6 W

Ditanya    : a) V₀

+ Vo _

                   b) Vs

Penyelesaian :

            P = 6 W

           

      maka         

            V₀²       = P. R₀

                        = 6 . 6

= 36
V₀        = 6 Volt

    Vs    = i. Rs

            = (V₀/R₀).(Rs)

            = (6/6).(2+4+6+28)

            = 40 Volt

CONTOH 2:

Jika sebuah tahanan terhubung seri dengan sumber 12 volt sehingga arus yang mengalir 28 mA. Bila ditambahkan R₁ secara seri antara sumber dan tahanan tersebut, berapa R₁ ? jika tegangan jatuh pada rangkaian tersebut  8 volt?

Penyelesaian :

Pembagi tegangan:

R₁=857,14 W

.

CONTOH 3:

Diketahui  gambar :

Ditanya : a) V pada R = 8 W

            b) i pada R = 12 W

Penyelesaian :

ANALISA TITIK SIMPUL

Analisis simpul ( Nodal Analysis) adalah metoda analisis rangkaian yang berdasarkan pada prinsip Hukum Kirchoff Arus (KCL). Rangkaian yang dianalisis pada bab ini adalah rangkaian planar yaitu jenis rangkaian dimana tidak ada cabang yang saling tumpang tindih.

Titik simpul adalah titik yang merupakan sambungan antara dua atau lebih elemen.

Ada dua macam titik simpul yang ada pada rangkaian, yaitu titik simpul biasa dan titik simpul referensi. Titik simpul referensi dipilih dari suatu titik simpul yang mempunyai paling banyak cabang yang terhubung dengan titik simpul tersebut. Biasanya dipilih yang berada di bagian bawah rangkaian.

Apabila suatu rangkaian mempunyai N buah titik simpul (termasuk titik simpul referensi) maka persamaan KCL yang dihasilkan N-1 buah.

Persamaan KCL ini biasanya dituliskan dalam bentuk matrik :

Variabel yang dicari dalam analisis titik simpul adalah tegangan pada titik simpul.

4.1.1 Rangkaian dengan Sumber Arus

            Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber arus dibawah ini :

            Tuliskan persamaan KCl pada masing-masing titik simpul.

           

Pada titik simpul 1:

Pada titik simpul 2:

            Persamaan (1) dan (2) kita tuliskan dalam bentuk matrik :

Tegangan pada titik simpul 1 dan 2, dapat dicari dengan menggunakan metode determinan untuk matrik konduktansi orde 2x2 atau aturan Cramer untuk matrik konduktansi orde 3x3 atau lebih.

4.1.2 Rangkaian dengan Sumber Tegangan

            Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber arus dibawah ini :

            Tuliskan persamaan KCl pada masing-masing titik simpul.

Pada titik simpul 1:

Pada titik simpul 2:

           

            Persamaan (1) dan (2) kita tuliskan dalam bentuk matrik :

Tegangan pada titik simpul 1 dan 2, dapat dicari dengan menggunakan metode determinan untuk matrik konduktansi orde 2x2 atau aturan Cramer untuk matrik konduktansi orde 3x3 atau lebih.

Apabila diantara dua titik simpul terdapat sumber tegangan bebas maupun sumber tegangan tak bebas, maka diantara kedua titik simpul tersebut terbentuk titik simpul istimewa (supernode). Adanya titik simpul istimewa mengurangi persamaan KCL yang dihasilkan. Perhatikan gambar rangkaian dibawah ini, daerah yang berwarna hijau adalah titik simpul istimewa yang terbentuk antara dua titik simpul. Hanya satu persamaan KCL yang diperlukan yaitu persamaan KCL pada titik simpul istimewa saja.

TitikSimpul Istimewa:

Jika v_s,i_s,R₁,R₂,R₃ diketahui maka v₁ dapat dicari melalui persamaan diatas.

Titik simpul istimewa adalah hubungan antara dua titik simpul yang diantara keduanya terdapat sumber tegangan bebas maupun sumber tegangan tak bebas.

CONTOH:

               Dit : v_x=...

               Penyelesaian :

Dari gambar diketahui : v_x = v₂ (tegangan pada titik simpul 2)

Titik Simpul 1:

Titik Simpul 2:

4.2 ANALISIS MATA JALA ( MESH ANALYSIS )

Analisis mata jala (Mesh Analysis) adalah metoda analisis rangkaian yang berdasarkan pada prinsip Hukum Kirchoff Tegangan (KVL). Matajala adalah bentuk khusus dari sebuah loop. Matajala adalah loop yang tidak mengandung loop lain didalam siklus tertutupnya. Metode mata jala ini hanya berlaku pada rangkaian planar.

Metode mata jala dilakukan dengan membuat persamaan KVL pada siklus tertutup mata jala tersebut. Apabila suatu rangkaian mempunyai N buah mata jala maka persamaan KVL yang dihasilkan N buah.

Persamaan KVL ini biasanya dituliskan dalam bentuk matrik :

Variabel yang dicari dalam analisis mata jala adalah arus mata jala.

Arus mata jala adalah arus yang mengalir pada elemen yang dilewati jalur mata jala. Arus mata jala diberi arah searah dengan jarum jam. Arus mata jala bukan merupakan arus cabang, tetapi hanyalah “dummy current”. Sehingga arus yang mengalir pada suatu elemen yang dilalui oleh dua mata jala adalah jumlah aljabar dari arus dua mata jala.

4.2.1 Rangkaian dengan Sumber Tegangan

            Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber tegangan dibawah ini:

Rangkaian diatas terdiri dari 3 buah mata jala. Persamaan KVL dituliskan untuk masing-masing mata jala.

Mata jala 1:

Mata jala 2:

Mata jala 3:

Ke tiga persamaan diatas dituliskan dalam bentuk matrik

Arus mata jala i₁,i₂,i₃ dicari dengan aturan Cramer .

4.2.1 Rangkaian dengan Sumber Arus

         Metode analisis mata jala pada rangkaian dengan sumber arus lebih mudah dibandingkan dengan sumber tegangan. Arus mata jala sama dengan arus sumber yang mengalir pada mata jala tersebut.

Dari rangkaian diatas, arus mata jala 1 dan 3 langsung diketahui :

                                    i₁ = i_s1

                                    i₃ = i_s3

Sehingga hanya satu arus mata jala yang dicari yaitu i₂. Persamaan KVL yang perlukan hanya satu saja yaitu pada mata jala dua:

Mata Jala 2 :

Pada rangkaian dengan sumber arus, persamaan KVL menjadi berkurang sejumlah sumber arus yang ada.

Apabila sumber arus berada pada dua mata jala seperti gambar dibawah ini:

                                    i_s = i₂ –i₁

Untuk mendapatkan arus mata jala, rangkaian dapat diandaikan dengan membuat suatu mata jala super (supermesh) dimana sumber arus i_s dimisalkan hubung terbuka :

Mata jala super

Mata jala super adalah suatu mata jala yang lebih besar yang dihasilkan dari dua mata jala yang mempunyai sumber arus bebas maupun sumber arus tak bebas bersama diantara dua mata jala.

CONTOH :

Dik : R₁ = R₂ = 1W

         R₃ = 28W

Dit : i₁,i₂,i₃ = ....

Penyelesaian :

Mata jala super :

ATURAN CRAMER :

Jika sekumpulan persamaan aljabar linier  :

dituliskan dalam bentuk matrik :

                                 Ax = b

Maka aturan Cramer mengatakan bahwa solusi untuk variabel x yang tidak diketahui, x_k, dari sekumpulan persamaan diatas adalah :

Dimana :

D  : deterrminan dari matrik A

D_k : determinan dari matrik A yang kolom ke k-nya diganti dengan kolom b

Determinan

5.1 TEOREMA SUPERPOSISI

            Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk rangkaian linier yang terdiri dari elemen-elemen linier dan sumber bebas, kita dapat menentukan respon total dari rangkaian dengan mencari respon terhadap masing-masing sumber bebas dengan membuat sumber bebas lain menjadi tidak aktif dan kemudian menjumlahkan respon-respon dari masing-masing sumber bebas tersebut. Respon yang dicari bisa berupa arus ataupun tegangan dari suatu elemen. Biasanya prisip superposisi dilakukan pada rangkaian yang mengandung dua sumber bebas atau lebih.

            Pada rangkaian linier yang mengandung sumber bebas, tegangan atau arus pada suatu elemen bila dicari dengan prinsip superposisi dilakukan dengan terlebih dulu mencari tegangan atau arus dengan satu sumber bebas saja, sedangkan sumber yang lain di nonaktifkan dengan cara mengganti sumber arus bebas dengan suatu hubung terbuka (open circuit) dan  sumber tegangan bebas dengan suatu hubung singkat (short circuit). Setelah   itu tegangan atau arus  didapat dengan menjumlahkan respon tegangan atau arus dari masing-masing sumber bebas.

            Untuk rangkaian dengan N buah sumber bebas, secara sistematik urutan-urutan pengerjaan prinsip superposisi adalah :

1.    Buat rangkaian sehingga hanya mempunyai satu sumber bebas (tegangan / arus). Sumber bebas yang lain (N-1 buah) dibuat tidak aktif. Jika sumber bebas itu adalah sumber arus maka diganti dengan suatu hubung terbuka (open circuit). Tetapi jika sumber tegangan diganti dengan suatu hubung singkat (short circuit). Carilah respon tegangan atau arus.

2.    Ulangi langkah pertama tetapi dengan sumber bebas yang lain yang diaktifkan , sedangkan sumber bebas pada langkah pertama menjadi tidak aktif.

3.    Lakukan terus sampai semua sumber bebas (N buah) dipakai sebagai sumber aktif.

4.    Jumlah respon tegangan atau arus dari N buah sumber bebas.

Yang harus diingat bahwa sumber yang dapat di-nonaktifkan adalah sumber bebas sedangkan sumber tak bebas tidak dapat dinonaktifkan.

CONTOH :

            Dit : i = ......

            Penyelesaian :

           

1.      Ambil sumber tegangan 12 V sebagai sumber rangkaian sedangkan 2 buah sumber arus 3A dan 9A tidak diaktifkan diganti dengan hubung terbuka (OC)

           

2.      Ambil sumber arus 3A sebagai sumber rangkaian sedangkan sumber arus 9A tidak diaktifkan diganti dengan hubung terbuka (OC) dan sumber tegangan 12 V tidak diaktifkan diganti dengan hubung singkat (SC)

           

3.      Ambil sumber arus 9A sebagai sumber rangkaian sedangkan sumber arus 3A tidak diaktifkan diganti dengan hubung terbuka (OC) dan sumber tegangan 12 V tidak diaktifkan diganti dengan hubung singkat (SC)

4.      

5.2TEOREMA THEVENIN

Jika suatu rangkaian dengan satu sumber atau lebih dan terdiri dari susunan resistor, maka rangkaian aktif tersebut dapat disederhanakan dengan menggunakan Teorema Thevenin / Norton.  Teorema Thevenin digunakan untuk menyederhanakan suatu rangkaian sehingga hanya terdiri dari satu sumber bebas tegangan dan satu buah resistansi yang terhubung seri dengan sumber tegangan. Rangkaian pengganti Thevenin dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Jika variabel yang akan dicari adalah arus pada resistansi beban R_L, maka perhitungan akan lebih mudah dengan mengganti sisa rangkaian disebelah kiri terminal ab dengan sebuah sumber tegangan (V_oc) dan sebuah resistansi pengganti Thevenin (R_T). Bila nilai resistansi beban R_L berubah-ubah, maka besar arus dicari hanya dengan membagi sumber tegangan dengan resistansi seri antara resistansi pengganti Thevenin (R_T) dan resistansi beban R_L. Teorema Thevenin sangat berguna untuk mencari arus, tegangan, atau daya pada suatu elemen yang bersifat variabel (berubah-ubah nilainya).

Metode untuk mendapatkan Rangkaian Pengganti Thevenin :

No	Jenis Rangkaian	Metode Penyelesaian
1.	Sumber bebas dan resistor	a. Cari Rth dengan menonaktifkan semua sumber, ganti sumber arus dengan hubung terbuka dan sumber tegangan dengan hubung singkat, dan dilihat dari terminal ab b. Cari VOC , yaitu tegangan pada terminal ab saat terminal ab hubung terbuka (dengan semua sumber aktif)
2.	Sumber bebas dan Sumber tak bebas , dan resistor	a. Cari VOC, yaitu tegangan pada terminal ab saat terminal ab hubung terbuka b. Cari Isc, yaitu arus hubung singkat yang mengalir pada terminal ab saat terminal ab dihubung singkat c. Rth = Voc / Isc
3.	Sumber tak bebas , dan resistor (tidak ada sumber bebas)	a. Tentukan  VOC = 0 b. Hubungkan sumber arus 1 A pada terminal a-b dan tentukan Vab c. Rth = Vab / 1

CONTOH :

Dit :RangkaianPenggantiThevenin = ..... ?

Penyelesaian :

Pada saat terminal ab hubung terbuka, tegangan jatuh pada terminal ab (V_OC) sama dengan tegangan jatuh di 10 W :

Gunakan prinsip superposisi untuk mendapatkan tegangan di 10 W

Resistansi Thevenin di cari dengan me-nonaktifkan semua sumber, dan terminal ab dianggap sebagai sumber :

Rangkaian pengganti Thevenin :

CONTOH :

Dit : Rangkaian Pengganti Thevenin = ..... ?

Penyelesaian :

Pada saat terminal ab hubung terbuka, tegangan jatuh pada terminal ab (V_OC) sama dengan tegangan jatuh di 8 W :

Gunakan KVL :

-48 +28i + 6i +8i = 0

40i = 48

i = 1,2A

Karena resistor 8W paralel dengan hubung singkat maka R = 0, sehingga arus i_sc = i

Gunakan KVL :

-48 +28i + 6i = 0

32i = 48

i = 1,5A

Rangkaian Pengganti Thevenin

CONTOH :

Dit : Rangkaian Pengganti Thevenin = ..... ?

Penyelesaian :

Pada terminal ab dipasang sumber arus 1 A

V_a = V_ab

Persamaan KCL pada a :

Rangkaian Pengganti Thevenin

5.3TEOREMA NORTON

Teorema Norton digunakan untuk menyederhanakan suatu rangkaian sehingga hanya terdiri dari satu sumber bebas arus dan satu buah resistansi yang terhubung paralel dengan sumber arus. Rangkaian pengganti Norton dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Bila nilai resistansi beban R_L berubah-ubah, maka besar arus yang mengalir pada R_L dicari hanya dengan menggunakan konsep pembagi arus antara resistansi pengganti Thevenin (R_T) dan resistansi beban R_L. Teorema Norton sangat berguna untuk mencari arus, tegangan, atau daya pada suatu elemen yang bersifat variabel (berubah-ubah nilainya).

Metode untuk mendapatkan Rangkaian Pengganti Norton :

No	Jenis Rangkaian	Metode Penyelesaian
1.	Sumber bebas dan resistor	a. Cari Rth dengan menonaktifkan semua sumber, ganti sumber arus dengan hubung terbuka dan sumber tegangan dengan hubung singkat, dan dilihat dari terminal ab b. Cari Isc , yaitu arus yang mengalir pada terminal ab saat terminal ab hubung singkat (dengan semua sumber aktif)
2.	Sumber bebas dan Sumber tak bebas , dan resistor	a. Cari Isc, yaitu arus hubung singkat yang mengalir pada terminal ab saat terminal ab dihubung singkat b. Cari VOC, yaitu tegangan pada terminal ab saat terminal ab hubung terbuka c. Rth = Voc / Isc
3.	Sumber tak bebas , dan resistor (tidak ada sumber bebas)	a. Tentukan  IsC = 0 b. Hubungkan sumber arus 1 A pada terminal a-b dan tentukan Vab c. Rth = Vab / 1

Besar tegangan hubung terbuka  (V_OC) pada rangkaian Thevenin dan arus hubung singkat (I_sC) pada rangkaian Norton memenuhi persamaan:

CONTOH :

Dit : Rangkaian Pengganti Norton = ....

Penyelesaian :

Pada saat terminal ab hubung-singkat, arus yang mengalir pada terminal ab (I_SC) sama dengan arus yang mengalir pada resistor 4 W :

Resistansi Norton sama dengan nilai resistansi Thevenin, R_TH = 10 W

Rangkaian pengganti Norton :

5.4TRANSFER DAYA MAKSIMUM

Masalah transfer daya adalah masalah yang berkaitan dengan efisiensi dan efektivitas. Pada kasus transmisi sinyal, masalah utama adalah mendapatkan sinyal maksimum pada sisi penerima yang berjarak tertentu dari sisi pengirim. Apabila terjadi pemindahan daya yang maksimum, dimana daya yang dikirim hampir sama dengan daya yang diterima, berarti sinyal yang diterima sedikit mengalami noise. Perhatikan rangkaian diatas, dimana rangkaian sumber A sudah digantikan dengan sebuah rangkaian pengganti Thevenin yang terdiri dari sebuah sumber V_s dan tahanan R_T.  Untuk mendapatkan transfer daya maksimum, harus dilakukan pengendalian pada besar resistansi beban (R_L) :

Jika  arus i :

Maka besar daya yang ditransfer :

Untuk mendapatkan resistansi beban (R_L) dimana transfer / pemindahan daya maksimum dapat terjadi , persamaan daya (p_L) diatas di-diferensialkan orde satu terhadap R_L  :

Selesaikan persamaan diatas sehingga kita dapatkan :

             R_L = R_T          

Substitusikan R_L = R_T pada persamaan p_L diatas, maka didapat :