Ukuran Pemusatan: Rentang, Standar Deviasi, Variansi

Ukuran Pemusatan

(Rentang, Standar Deviasi, Variansi)

A. Dasar Teori

Rentang

Rentang adalah bentuk paling sederhana dari ukuranvariasi pada statistik yang menunjukkan jarak penyebaran antara nilai terkecil dengan nilai terbesar. Rumus rentang adalah sebagai berikut:

Rentang=nilai max⁡〖- nilai min〗

Rentang antar kuartil
Adalah selisih antar kuartil ke-tiga dengan kuartil ke-satu.

RAK=K_3- K_1

Keterangan :
RAK = rentang antar kuartil,
K3 = kuartil ke-tiga,
K1 = kuartil ke-satu.

Rentang semi antar kuartil (simpangan kuartil)
Adalah setengah dari RAK (rentang antar kuartil)

SK=1/2 RAK

Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata merupakan nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya. Dimana harga mutlak adalah semua nilai simpangan negatif terhadap positif. Simbol simpangan adalah (x), sedangkan simbol harga mutlak adalah |x|.

Rumus simpangan rata-rata adalah :

x=X-x ̅

Keterangan :
x = simpangan data dari rata-ratanya,
X = data yang diketahui,
x ̅ = mean kelompok data.

Rumus simpangan rata-rata untuk data tunggal.

SR= (∑f|X-x ̅ |)/n atau SR= (∑|x|)/n

Rumus simpangan rata-rata untuk data kelompok.

SR= (∑f|x|)/(∑f)

Simpangan Baku (standar deviasi)

Standar deviasi adalah suatu nilai yang menunjukkan tingkat variasi kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari mean-nya. Standar deviasi di beri simbol 〖σ 〗_n atau σ sedangkan simbol sampel 〖σ 〗_(n-1),SD atau s.

Rumus standar deviasi sampel untuk data tunggal.

σ_(n-1)= √((∑X^2- ((∑〖X)〗^2)/n)/(n-1)) atau s= √((∑X^2)/(n-1))

Rumus standar deviasi populasi untuk data tunggal.

σ_n= √((∑X^2- ((∑〖X)〗^2)/n)/n) atau σ = √((∑X^2)/n)

Rumus standar deviasi (s) sampel untuk data distribusi.

σ_(n-1)= √((∑f.X^2- ((∑f.〖X)〗^2)/(∑f-1))/(∑f-1)) atau s= √((∑f.X^2)/(∑▒〖f-1〗))

Standar deviasi (s) populasi untuk data distribusi.

σ_n= √((∑▒f.X^2- ((∑▒〖f.〖X)〗^2 〗)/(∑▒f))/(∑▒f)) atau σ= √((∑▒〖f.x^2 〗)/(∑▒f))

Variansi

Adalah kuadrat dari standar deviasi. Varians untuk populasi disimbolkan dengan σ^2 atau σ_( n)^2 , sedangkan untuk sampel σ_( n-1)^2 atau (s^2 )atau S.

Rumus varians sampel untuk data tunggal.

σ_( n-1)^2= [√((∑▒〖f.X^2- ((∑▒〖f.〖X)〗^2 〗)/(∑▒〖f-1〗)〗)/(∑ f-1))] atau S= ((∑▒X^2 )/(n-1))^2

Varians (S) populasi untuk data tunggal.

σ_n^2= [√((∑▒〖X^2-((∑▒〖X)〗^2 )/n〗)/n)] atau σ^2=((∑▒X^2 )/n)^2

Rumus varians sampel untuk data distribusi.

σ_(n-1)^2=[√((∑▒〖f.X^2-〖(∑▒〖f.X)〗〗^2/(∑▒〖f-1〗)〗)/(∑▒〖f-1〗))] atau S= [√((∑▒〖f.X^2 〗)/(∑▒f))]^2

Varians populasi untuk data distribusi.

σ_n^2=[√((∑▒〖f.X^2-〖(∑▒〖f.X)〗〗^2/(∑▒f)〗)/(∑▒f))] atau σ_n^2= [√((∑▒〖f.X^2 〗)/(∑▒f))]^2

Koefisien Variansi

Adalah perbandingan antara standar deviasi dengan harga mean yang dinyatakan dengan (%). Fungsinya adalah untuk mengamati variasi data dari mean-nya. Dimana semakin kecil koefisien variasinya, maka data semakin homogen. Sebaliknya, semakin besar koefisien bariasinya, maka data semakin heterogen. Berikut adalah rumus untuk menghitung besarnya koefisien varians:

KV= s/x ̅ x100%

Keterangan:
KV = koefisien variasi (%),
s = standar deviasi,
x ̅ = rata-rata.

Angka dan Bilangan Baku (standart score)

Angka baku atau skor baku disimbolkan dengan (Zscore). Merupakan angka yang menunjukkan tingkat data penyimpangan dari mean dalam satuan standar deviasi atau seberapa jauh suatu nilai tersebut yang menyimpang dengan satuan s. Fungsi angka baku adalah untuk mengamati perubahan nilai kenaikan atau penurunan variabel atau satuan gejala yang ada dari rata-ratanya, dan untuk mengubah data ordinal menjadi data interval dengan jalan mengubah skor mentah menjadi skor baku. Rumus angka baku adalah sebagai berikut:

Z_score=(X-x ̅)/s

Keterangan:
Zscore = angka baku,
X = nilai variable,
s = standar deviasi,
x ̅ = mean.

Dalam penggunaan bilangan z, sering diubah menjadi distribusi baru yang mempunyai x ̅ dan standar deviasi yang sudah ditentukan. Bilangan yang diperoleh dengan cara ini disebut bilangan baku (bilangan standar). Dengan x ̅ dan s ditulis dengan rumus:

Z_score= x ̅_o+ s_o ((X-x ̅)/s)

Keterangan:
Zscore = bilangan baku,
X = nilai variabel,
x ̅_o = mean yang sudah ditentukan,
s_o = standar deviasi yang sudah ditentukan,
s = standar deviasi,
x ̅ = mean.

Kemiringan

Dalam sebuah kurva terdapat model yang bentuknya positif, negatif atau simetrik. Apabila dalam kurva tersebut terjadi sifat taksimetri, maka untuk mengetahui derajat taksimetri sebuah model menggunakan ukuran kemiringan dengan rumus sebagai berikut:

kemiringan= (rata-rata-modus)/(simpangan baku)

Rumus empirik untuk kemiringan adalah:

kemiringan= (3 (mean-median))/(simpangan baku)

Kurtosis

Pada kurva distribusi normal, tinggi rendahnya bentuk kurva disebut kurtosis. Untuk melihat ukuran kurtosis digunakan koefisien kurtosis dengan simbol.

Untuk lebih jelasnya silahkan melihat contoh pengerjaan dalam file berikut ini: