Statistika Deskriptif: Rata – rata, Modus, Median, Desil, Kuartil, Presentil.

Statistika Deskriptif : (Rata – rata, Modus, Median, Desil, Kuartil, Presentil)

A. Dasar Teori

Terdapat macam-macam penyajian data dalam statistika. Penyajian data itu sendiri dikelompokkan menjadi 2, yakni ukuran tendensi sentral dan ukuran penempatan. Macam ukuran dari golongan ukuran tendensi sentral adalah : rata-rata atau rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonik, dan modus. Sedangkan untuk macam ukuran dari golongan ukuran penempatan adalah: median, kuartil, desil dan persentil. Kedua golongan pengukuran tersebut digunakan untuk mendapatkan data yang menunjukkan pusat data dari gugusan data yang menyebar.

1. Rata-rata

A. Rata-rata hitung (mean)

Rata-rata hitung atau disebut juga dengan mean, digunakan untuk data kuantitatif dalam suatu sampel yang dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyak data. Simbol rata-rata sampel adalah X ̅ (baca: eks-bar), sedangkan rata-rata populasi adalah µ (baca: mu). Data kuantitatif dinyatakan dengan X1, X2, X3 . . . Xn. Simbol n digunakan untuk menyatakan nilai sampel, yaitu banyak data yang diteliti. Rata-rata hitung atau mean dibagi menjadi dua, yaitu : mean data tunggal dan mean data kelompok.

Mean data tunggal

Data yang dipakai sedikit jumlahnya, perhitungannya menggunakan cara menunjukkan semua nilai data dibagi banyak data. Rumus untuk mean data tunggal adalah sebagai berikut:

x ̅= (X1+X2+⋯+Xn)/n atau X ̅= (∑Xi)/n ………………..(i)

Atau dapat memakai rumus:

x ̅= (∑fiXi)/Σfi ………………………………………………(ii)

atau juga dapat memakai rumus:

x ̅= (∑ni X ̅i)/Σni …………………………………………...(iii)

Keterangan :
x ̅    = mean,
∑xi = jumlah tiap data,
n     = jumlah data,
f     = frekuensi data.

Mean data kelompok

Jika data sudah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi, maka keaslian data itu akan hilang karena berbaur dengan data lain menurut kelasnya. Untuk mencari rata-ratanya digunakan mean data kelompok. Yaitu setengah dari jumlah ujung bawah kelas dan ujung atas kelas untuk mewakili setiap kelas interval untuk menghindari kemungkinan data yang ada mempunyai nilai yang lebih tinggi atau lebih kecil di setiap interval dari titik tengah. Rumus untuk mean data kelompok adalah sebagai berikut:

x ̅= (∑(xi.f_i)/(∑f_i ) ………………………………………(iv)

Keterangan :
X ̅    = mean,
x_i   = titik tengah,
∑f_i = jumlah frekuensi.

Bisa juga menggunakan cara koding, dimana kelas yang memiliki frekunsi paling besar memeiliki koding 0. Frekuensi memakai koding sebelumnya <0 dan="" dst="" frekuensi="" sesudahnya="">0 (1,2,3…….dst). rumus koding ditulis sebagai berikut:

x ̅=x_0+p((Σfi ci)/(Σ fi))………………………….....(v)

Rata-rata ukur (arithmetic mean)
Rata-rata ukur untuk data yang tidak berdistribusi
Untuk mencari rata-rata ukur, diantaranya untuk mencari rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase, perbandingan tiap data berurutan tetap maupun hampir tetap,dan rata-rata terhadap persentase atau rasio perubahan suatu gejala pada data tertentu. Dinyatakan dalam rumus:

U= √(n&x_(1 ) x_2 x_3…x_(n ) )………………………(vi)

Keterangan :
U = rata-rata ukur,
n  = banyak data,
x_(1 ) x_2 x_3…x_(n ) = nilai tiap gejala.

Jika rumus berubah dalam bentuk logaritma, menjadi:

LogU= (∑▒〖. log〗 X_i)/n……………………………….(vii)

Rata-rata ukur untuk data yang berdistribusi
Jika data berbentuk dikelompokkan, maka rumusnya adalah sebagai berikut :

RK= √(n&X_1^(f_1 ) )X_2^(f_2 ) X_3^(f_3 )….X_n^(f_n )

Keterangan :
RK = rata-rata kelompok,
N    = ∑f,
xi   = titik tengah tiap-tiap kelas,
atau jika ditulis dalam bentuk logaritma.

log⁡U=(Σ (fi log⁡xi))/Σfi ………………………..(viii)

Rata-rata ukur sebagai pengukuran tingkat pertumbuhan (rate of growth).
Perhitungan ini hanya dapat digunakan dalam pengukuran tingkat pertumbuhan saja. Jika deretan data mengalami penurunan, maka perhitungan ini tidak dapat digunakan. Perhitungan ini biasanya digunakan untuk perhitungan bunga majemuk. Rumusnya adalah sebagai berikut:

Pn=Po (1+〖r)〗^(n ) atau r= √(n&Pn/Po)- 1

Keterangan :
Po = besar data awal periode,
Pn = besar data yang ke-n,
r = rata-rata tingkat penurunan,
n = banyak data atau periode perkembangan.

Rata-rata harmonik (harmonic mean)
Adalah jumlah data dibagi dengan jumlah satu persetiap data. Digunakan untuk data bersifat khusus.
Rata-rata harmonik data tunggal
Rumus :

H= n/(1/X_1 + 1/X_2 + 1/X_3 ….1/X_n ) …………………………..(ix)

Keterangan :
X = harga / nilai tiap data
n = banyak data

Rata-rata harmonik data berdistribusi
Jika data berbentuk distribusi frekuensi, menggunakan rumus rata-rata harmonik sebagai berikut :

RHK= (∑f)/(∑[f/X_i ] )…………………………………..(x)

Keterangan :
RHK = rata-rata harmonik kelompok,
f = frekuensi,
X_i = titik tengah kelas.

Modus

Merupakan nilai dari beberapa data yang mempunyai frekuensi tertinggi atau nilai yang sering muncul dalam kelompok data.

Menghitung modus pada data tunggal
Dilakukan dengan cara sederhana, yaitu dengan cara mencari nilai yang paling sering muncul diantara sebaran data. Untuk mempermudah penghitungan, dapat digunakan daftar distribusi frekuensi.

Contoh :
terdapat sampel dengan nilai data sebagai berikut:
40, 60, 60, 65, 75, 60, 70, 60,80, 90,75,80.
Dapat disusun dalam tabel sebagai berikut :
x_i f_i
40 1
60 4
65 1
70 1
75 2
80 2
90 1

Jawab: frekuensi terbanyak adalah f = 4 pada nilai 60. Maka Modus = 60.

Menghitung modus berdistribusi
Rumus untuk modus berdistribusi adalah sebgai berikut:

Mo=Bb+P [F_1/(F_1+F_2 )]…………………………………(xi)

Keterangan :
Mo = nilai modus,
Bb = batas bawah nilai kelas yang mengandung nilai modus,
P = panjang kelas nilai modus,
F_1 = selisih antara frekuensi modus (f) dengan frekuensi sebelumnya (f_sb),
F_2 = selisih antara frekuensi modus (f) dengan frekuensi sesudahnya (f_sd).

Median

Median adalah (Me) adalah nilai tengah setelah data disusun berurutan dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Jika jumlah data ganjil, maka mediannya adalah data paling tengah setelah data disusun menurut nilainya. Jika jumlah data genap, maka data disusun menurut nilainya, mediannya adalah rata-rata hitung dua data yang berada di tengah. Rumus median untuk data tunggal adalah sebagai berikut:

Me=1/2 (n+1)

Keterangan :
n = jumlah data.

Rumus median untuk data kelompok adalah sebagai berikut:

Me=b+p ((1/2 n-F)/f)………………………………………………………(xii)

Keterangan:
B = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana letak median berada.
P = panjang kelas median.
n = ukuran sampel atau banyak data.
F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median.
f = frekuensi kelas median.

Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama setelah data disusun dari yang terkecil hingga yang terbesar atau sebaliknya. Berikut adalah tiga bentuk kuartil :
Kuartil pertama : nilai dalam daftar distribusi yang membatasi ¼ atau 25% dari frekuensi bagian atas dengan ¾ atau 75% dari frekuensi bagian bawah.

Kuartil kedua : nilai dalam daftar distribusi yang membatasi ½ atau 50% dari frekuensi bagian atas dengan ½ atau 50% dari frekuensi bagian bawah.

Kuartil ketiga : nilai dalam daftar distribusi yang memebatasi ¾ atau 75% dari frekuensi bagain atas dengan ¼ atau 25% dari frekuensi bagian bawah.

Mencari kuartil data tunggal
Untuk mencari data tunggal, terlebih dahulu menyusun data dari yang terkecil hinga terbesar atau sebaliknya, kemudian kuartil dicarei dengan rumus sebagai berikut:

K_(1 )=1/4 (n+1) ; K_2=1/2 (n+1) ; K_3=3/4(n+1) ……………..(xii)

Keterangan:
n = jumlah data.

Mencari kuarti data kelompok
Untuk mencari kuartil data kelompok, buat daftar distribusi terlebih dahulu dengan mengurutkan data dari yang terkecil hingga terbesar atau sebaliknya untuk mempermudah penghitungan. Kemudian hitung rentangan data (R), jumlah kelas (K) dan panjang kelas interval (P). Kemudian buat distribusi frekuensi lalu mencari nilaikuartil dengan rumus sebagai berikut:

K_(1 )=Bb+P ( 1/4 n-Jf)/f…………………………………..(xiv)
K_2=Bb+P ( 1/2 n-Jf)/f……………………………………..(xv)
K_3=Bb+P ( 3/4 n-Jf)/f…………………………………….(xvi)

Keterangan :
K_1 K_2 K_3 = nilai kuartil,
Bb = batas bawah kelas sebelum nilai kuartil akan terletak,
P = panjang kelas nilai kuartil,
n = jumlah data,
f = banyaknya frekuensi kelas kuartil,
Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil.

Desil

Desil merupakan nilai yang membagi data menjadi 10 bagian sama setelah data disusun dari yang terkecil hingga yang terbesar atau sebaliknya. Cara yang digunakan untuk mencari desil hampir sama dengan mencari kuartil, pembedanya hanya pada pembagian saja. Pada desil terdapat 9 pembagian, yaitu Ds1 sampai Ds9.

Mencari desil data tunggal
Rumus yanbg digunakan adalah sebagai berikut:

D_i=data- (i (n+1))/10…………………….(xvii)

Keterangan :
n = jumlah data,
i = 1, 2, 3,........9.
Mecari desil data berkelompok
Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:

Di=Bb+P((i n/10-Jf)/f)……………………………………………..(xviii)

Keterangan :
Di = desil data ke-,
Bb = batas bawah kelas sebelum nilai akan terletak,
P = panjang kelas nilai desil,
n = jumlah data,
f = banyaknya frekuensi kelas desil,
Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas desil.

Presentil

Presentil adalah nilai yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama setelah data disusun dari yang terkecil hingga terbesar atau sebaliknya. Dalam persentil terdapat 99 pembagaian yang disebut Ps1 sampai Ps99.

Mencari persentil data tunggal.
Untuk mencari persentil data tunggal, data diurutkan dari yang terkecil hinggal yang terbesar atau sebaliknya kemudian posisi persentil digunakan rumus sebagai berikut:

〖Ps〗_x=data ke-x/100(n+1)………………………………………..(xix)

Keterangan:
n = jumlah data,
x = 1-99.

Mencari persentil data kelompok
Untuk mencari persentil data kelompok, susun data dari yang terkecil hingga terbesar atau sebaliknya, kemudian hitung rentangan (R), jumlah kelas (K) dan panjang kelas interval (P). Buat distribusi frekuensi kemudian cari nilai persentil dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

〖Ps〗_i=Bb+P ((x.n/100-Jf))/f………………………………..(xx)

i=1-99

Keterangan:
Ps = nilai persentil,
Bb = batas bawah kelas sebelum nilai persentil akan diletakkan,
P = panjang kelas nilai persentil,
n = jumlah data,
f = banyaknya frekuensi kelas persentil,
Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil.

Untuk lebih jelasnya silahkan melihat contoh pengerjaan dalam file berikut ini: